termstructure:半年的年化利息r_2是不一样的

今天浅析债券中最基本的bullet fixed bonds,即本金只能在maturity偿还的固定息票的债。

对于所有的interest products,利率r 固然是fair value最重要的一个影响因子;正如“债有主”所说的,发行债券的issuer是其次最重要的因子,我们用z-spread来度量(measure)。下面从利息的term structure,应计利息 accrued interest以及z-spread丰富对债券的认识。

任何债券的定价,最终都决定于发行人与对应tenor所属的risk spread (比如z-spread)。

(微信公众号 cadlag)

一、概述

我们知道,一个为期T年,本金为N,市场利率为r的无风险的零息债券的价格为

一个为期T年,本金为N,市场利率为r的无风险带息C债券的价格为

即一个债券的价格就是其未来所有的现金流Cash flow与其相对应的折价因子dicountfactor的乘积的和

如何确定discount factor,市场上有以下三种折价方式:

如下图所示:

不同的折价(生息)方式,代表这不同的复利频率reset frequency。

Interest term structure告诉我们,每个tenor说对应的年化利息是不一样的。也就是说,半年的年化利息r_1跟1年的年化利息r_2是不一样的。这就涉及到interest rate curve的interpolation。正常情况下对于时间短于一年的interpolation我们直接用线性求,长tenor的我们可以用高维度spline(多项式)进行估值。的假如我们知道市场上Euribor 1年跟2年的利率,我们怎么求?(已知两点,求直线方程式)

Interest term structure同时也告诉我们,即使时间长度tenor一样长,但是时间点不一样,其利率也是不一样的,即如何估值forward interest的问题

根据不同的discount方法,我们有三种计算方式

其中 r_i我们称之为zero rate。

二、实际应用

我们从网络上看一下彭博社终端机某个债券的主要信息。

(图片来自网络)

正如我们对任何项目金融产品的投资,所关心的无外乎我可以收到多少钱,我冒多大的风险。用数字描述的基本跟收益有关(票息率,计息日原则,付息频率,到期日期),其他的基本跟风险有关(等级,评级,发行人)。市场上可以在交易所买卖的债券基本都带有评级的,少数是没有评级的。美帝三大评级巨兽垄断了评级市场,为了挑战市场,党去年年底在港交所发行20亿无评级美元主权债券,可以说是年底炒得热腾的新闻了。

接下来我们从代表收益的interest rate和代表风险的spread说起。

我们从概述里知道,interest rate是一个与时间有关的函数(term structure),以及一个富有空间的“无风险”的修饰词。2008年金融危机期间,libor利率变得不稳定,libor利率与隔夜指数掉期OIS的利差扩大,人们开始反思到底哪个利率可以代表“无风险利率”。一般认为,OIS(overnight indexed swap)比libor更能代表无风险利率。但是,一般没特别说明,我们用6个月期的Libor/Euribor/Shibor为无风险利率。在forward rate上的interest curve 跟其复利频率(reset frequency)保留一致。市场上对bond的quote一般是clean价格,即不包含未付的应计利息 accrued interest。接下来我们来简单的算算一个无风险债券的clean价格:

通过excel计算如下

其公式如下,其中interest rate按照最简单的线性interpolation

接下来我们谈谈如何确定用spread(z-spread)或简单称curve来表述债券发行人的违约风险。其中,最好这个spread/curve就是该issuer的;假如市场上该issuer发行的债券比较不受欢迎,不liquid,我们次之用这债券在他所在行业industry所对应的评级(债券评级)来代表该债券的风险;再如果恰好没有债券评级,我们用该issuer同一rank的评级代表该债券的评级。如果我们已经有了该债券的z-spread,想要再确认其大概期间的话,我们可以用改issuer的同一tenor的cds的spread来比较。理论上cds的synthetic spread与bond的z-spread(与cds区分叫cash spread)应该一样,但是由于cds一般有固定的recoveryrate而实际的bond却没有固定的recovery rate,所以即使其违约风险一样,根据

得到其各自表达的spread的大小不一定一致。如果我们知道了其市场上的z-spread,一般用Constant Hazard Rate来计算其spread curve,即发生违约事件服从强度lambda不变的泊松分布,我们称这个参数lambda为hazard rate。

有了counterparty risk的债券的定价我们就多了个市场参数 z-spread,即

对于z-spread如何从市场上一个fixedbond推导,我们通过一个简单的代码代替复杂过程,并且结束今天对债券简单的认识。

在以后的推文具体介绍金融产品的基石curve的推导估值。

参考文献:

The handbook of fixed income securities, Frank Fabozzi

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